1GA suBst1tuts100n v2hEmALt kAhEELEmEnd1L1sEL huLGAL 0n Es1tAtAv tRAnsp0s1ts100n1dE k0RRut1sEnA

Kuna ühiksubstitutsioon võrdub mistahes transpositsiooni ruuduga, siis vaatleme substitutsioone, mis ei ole ühiksubstitutsioonid. Kuna kõik permutatsioonid n elemendist on võimalik niiviisi järjestada, et iga järgnev permutatsioon on eelnevast saadav transpositsiooni abil, kusjuures esimeseks võib valida suvalise permutatsiooni, siis on järelikult võimalik ka kõik substitutsioonid n elemendist niiviisi ära järjestada, et alustame ühiksubstitutsioonist ning iga järgneva substitutsiooni normaalkuju alumise rea permutatsioon on saadud eelneva substitutsiooni normaalkuju alumise rea permutatsioonist transpositsiooni abil. Mingi substitutsiooni korrutamine paremalt transpositsiooniga, mille ülemises reas on mingitel kohtadel i ja j, kusjuures i asub j-st eespool, ja alumisel vastavalt samadel kohtadel j ja i (siis j asub i-st eespool), on samaväärne i-nda ja j-nda elemendi ümbervahetamisega selle substitutsiooni normaalkuju alumises reas, see tähendab transpositsiooniga selle substitutsiooni normaalkuju alumises reas asetsevas permutatsioonis. Järelikult on mistahes substitutsioon siis ühiksubstitutsiooni ja teatava arvu transpositsioonide korrutis. Kuna ühiksubstitutsiooni ärajätmine sellest korrutisest korrutist ei muuda, siis iga substitutsioon vähemalt kaheelemedilisel hulgal on esitatav transpositsioonide korrutisena.
[Mati Kilp - "Algera I", Tartu 1998; muudetud kujul]

m1n1mAALnE GRAAf 0n tR1AnGuLAts100n

Olgu G minimaalne graaf ning olgu ta tasandile joonistatud nii, et tema mingil tahul on rohkem kui kolm külge. Valime ühe sellise tahu piirilt kaks tippu v ja w, mis ei ole teineteise naabertippudeks. Ühendame nüüd tipud v ja w uue servaga ning surume selle serva kokku üheks punktiks. Tulemuseks on uus (aga väiksema tippude arvuga) tasandiline graaf G'. Et G oli minimaalne graaf, siis on G' nelja värviga värvitav. On selge, et iga graafi G' värvimismoodus indutseerib esialgse graafi värvimismooduse (mille korral tipud v ja w on värvitud ühe ja sama värviga). Sellega on näidatud, et minimaalse graafi ühegi tahu piiril ei saa olla rohkem kui kolm serva. Järelikult on minimaalne graaf triangulatsioon.
[Mati Kilp - "Neljavärviprobleem", Tallinn "Valgus", 1984]

1GA sAmAm22RAtAvAtE juhusL1kE suuRustE huLk s1sALduB m1nG1s (m1n1mAALsEs) juhusL1kE suuRustE Ruum1s

Vaatleme katset, mis määrab kõik antud samamääratavad juhuslikud suurused. Kõigi selle katse võimalike tulemuste funktsioonide hulk (st. kõigi juhuse funktsioonide hulk) on viie põhiomadusega ja sisaldab seejuures etteantud juhuslike suuruste hulga. Nii oleme saanud juhuslike suuruste ruumi, kus sisaldub etteantud juhuslike suuruste hulk, kuid üldiselt võib leiduda teisigi (vaesemaid) juhuslike suuruste ruume, mis sisaldavad sama juhuslike suuruste hulga. On aga õige lihtne näha, et kõigi nende ruumide ühine osa ei ole tühi ja on seejuures jälle juhuslike suuruste ruum. Viimane on ilmselt minimaalne juhuslike suuruste ruum, kus sisaldub etteantud juhuslike suuruste hulk. Teoreem on tõestatud.
[Ene-Margit Tiit, Anne-Mai Parring, Tõnu Möls - "Tõenäosusteooria ja matemaatiline statistika", Tallinn "Valgus", 1977]

k0Lm ALGEBRAL1st L61ku

Järelikult iga poolrühm (muuseas ka iga rühm) on isomorfne selle poolrühma elementide hulga mingi teisenduste poolrühmaga. Kuna rühmaga isomorfne poolrühm on ise rühm, teisenduste seas aga omavad pöördelementi ainult üksühesed teisendused, siis järeldub siit otsekohe, et iga rühm on isomorfne selle rühma elemetide hulga mingi üksüheste teisenduste rühmaga. Lõplike rühmade jaoks seega iga lõplik rühm on isomorfne mingi substitutsioonide rühmaga.

Tetraeedri liikumiste rühm koosneb kaheteistkümnest elemendist: ühikelemendist, kaheksast liikumisest, mis jätavad paigale ühe tippudest ja teostavad pöörde seda tippu ning tema vastastahu keskpunkti läbiva sümmeetriatelje ümber, ning kolmest pöördest vastasservade keskpunkte ühendava kolme sümmeetriatelje ümber. Lihtne on veenduda, et kõikidele nendele liikumistele vastavad tippude paarissubstitutsioonid. Seega on tetraeedri liikumiste rühm isomorfne vahelduva rühmaga A₄. Üldse koosnevad korrapäraste hulktahukate liikumiste rühmad ainult pööretest, mistõttu neid nimetatakse pöörete rühmadeks.

Esimeseks teadusalaks, milles rühmateooriat rakendati sügavate probleemide lahendamiseks, osutus omal ajal kristallograafia. Nimelt klassifitseeris tuntud vene matemaatik J. S. Fjodorov 1890. a. kõik korrapärased ruumvõred, kasutades seejuures selliste võrede sümmeetriarühmi. Selgus, et niisuguseid rühmi - neid nimetatakse kristallograafilisteks rühmadeks ehk Fjodorovi rühmadeks - on 230, kusjuures 65 rühma ei sisalda peegeldusi ja 165 sisaldavad neid. Mõistagi, et kristallograafid ei suutnud enne rühmateooria kasutuselevõtmist ise anda sellist ammendavat klassifikatsiooni ning pidid piirduma palju jämedama liigitusega.
[Jevgeni Gabovitsh - "Arvudeta matemaatika", Tallinn "Valgus", 1968; esimene lõik muudetud kujul]

BEEtAtR0n

Pööriselektrivälja kasutatakse elektronide induktsioonikiirendis, mida nimetatakse beetatroniks. Beetatron koosneb elektromagnetist, mille erilise kujuga pooluskingade vahele paigutatakse vaakumkamber. Elektromagneti mähist toidetakse vahelduvvooluga, mille sagedus on ~100 Hz. Seejuures tekkival vahelduvmagnetväljal on täita kaks funktsiooni: ta indutseerib elektrone kiirendava pööriselektrivälja ja hoiab osakesi kambri teljega ühtival orbiidil.
Selleks, et elektron liiguks konstantse raadiusega orbiidil, peab koos tema kiiruse kasvuga suurenema ka välja magnetiline induktsioon. Seetõttu saab kiirendamiseks kasutada vaid voolu teist ja neljandat veerandperioodi, mille alguses on magneti mähist läbiva voolu tugevus null. Seega töötab beetatron impulssrezhiimis. Impulsi alguses juhitakse kambrisse elektronkahurist elektronide juga. Pööriselektriväli haarab osakesed ja paneb need liikuma ringorbiidil järjest kasvava kiirusega. Magnetvälja tugevnemise vältel (~10^-3 s) jõuavad elektronid sooritada kuni miljon tiiru ja omandavad energia, mis võib ulatuda mitmesaja megaelektronvoldini. Sellise energiaga elektroni mass ületab sadu kordi seisumassi ning tema kiirus on peaaegu võrdne valguse kiirusega vaakumis.
[I. Saveljev - "Füüsika üldkursus II", Tallinn "Valgus", 1978]

c0mpAct d1sc

In storing and handling the Compact Disc, you should apply tha same care as with conventional records. No further cleaning will be necessary if the Compact Disc is always held by the edges and is replaced in its case directly after playing. Should the Compact Disc become soiled by fingerprints, dust or dirt, it can be wiped (always in a straight line, from center to edge) with a clean and lint-free, soft dry cloth. No solvent or abrasive cleaner should ever be used on the disc. If you follow these suggestions, the Compact Disc will provide a lifetime of pure listening enjoyment.
[Ühe CD pealt.]

1nvERssEtEst p00LRyhmAdEst

Alates m2rtsist on mul peas olnud yks idee vaadata inverssete poolryhmade teatud alampoolryhmi. Ja olengi defineerinud hariliku regulaarsuse asemel 2-regulaarsuse (mida annab yldistada n-regulaarsusesks) ja 2-inverssuse (annab yldistada n-inverssuseks). Regulaarne poolryhm on inversne parajasti siis, kui tema idempotendid kommuteeruvad. Ma n2itasin, et 2-inverssusest j2reldub inverssus ja 2-regulaarsusest regulaarsus (viimane on absoluutselt ilmne, kui teada definitsioone). Mul 6nnestus n2idata, et 2-inversse poolryhma idempotendid kommuteeruvad ka, suure vaeva ja raskusega, kuigi oleks saanud lihtsamalt, nagu hiljem m2rkasin, lihtsalt yhe j2reldusena. Aga idempotentide kommuteeruvusest ma ei suutnud j2reldada, et 2-regulaarne poolryhm on 2-inversne. See oli kohutav uudis minu jaoks. Nyyd ma pean m6tlema v2lja mingi uue tarviliku ja piisava tingimuse, et 2-regulaarne poolryhm oleks 2-inversne. Yks idee ka on, aga seda teostama hakates pole mul enam kusagilt eeskuju v6tta, t2iesti ise ja yksinda pean seda tegema, kui tahan.
6ppej6ududele pole ma sellest veel midagi r22kinud. Miks? Sest kogu see krempel v6ib osutuda t2iesti m6ttetuks... Aga mina teen ikka edasi! :)
[Katkend ühest minu kirjutatud kirjast 25.05.2001. Matemaatilise korrektsuse nimel on see muudetud kujul. Sellest kõigest kasvas välja minu bakalaureuse- ja magistritöö.]

k0Lm t0p0L00G1L1st L61ku

Tasandil on kinnise hulga näiteks paralleelsirgete vaheline riba koos nende äärsirgetega. Tõepoolest, selle riba täiendiks on kahe äärsirgeta pooltasandi ühend, kumbki neist on aga lahtine, mistõttu ka see ühend on lahtine. Kinnine on järelikult ka rööpkülik (koos tippude ja külgedega), sest ta on kahe kõnesoleva riba ühisosa.

Möbiuse lehe iseärasus on selles, et temal liikudes piki keskjoont tuleb kujund tagasi mitte algasendis, vaid peegeldatud asendis ja alles pärast teistkordset läbimist saame algasendi uuesti kätte. Seda asjaolu väljendatakse öeldes, et Möbiuse leht pole orienteeritav. Näiteks positiivne pöördesuund (vastu kellaosuti liikumist) kaotab temal mõtte, sest pärast liikumist piki keskjoont tuleb kell tagasi peegeldatult.
Kui Möbiuse leht realiseerida pinnana eeltähendatud viisil, selgub, et tal on üksainus pool: värvipintslit temal piki keskjoont tõmmates selgub pärast värvimise algusesse tagasi jõudmist, et kõik sai värvitud (veenduda selles!), seejuures ilma pintslit "väljastpoolt" "sissepoole" üle viimata (nagu on vaja teha näiteks plekktoru värvimisel). Seda asjaolu väljendatakse öeldes, et Möbiuse leht on ühe poolega pind. Väljendit ühe poolega ja mitteorienteeritav loetakse siin samaväärseteks; esimene rõhutab Möbiuse lehe kui ruumi pinna omadust, teine tema kui topoloogilise ruumi vastavat sisemist omadust.

Antud punktis algavate ja lõppevate ringliinide homotoopsusklassid moodustavad rühma, kui nende klasside hulgas defineerida korrutamine selliselt, et kahe klassi korrutiseks on neist klassidest võetud ringliinide liitliini klass (mis ei sõltu nende ringliinide valikust nendes klassides). Ühikuks on püsiliini klass, antud klassi pöördelemendiks - selle klassi liini pöördliini klass (mis samuti ei sõltu liini valikust antud klassis).
[Ülo Lumiste - "Topoloogia", Tartu 1987; kolmas lõik muudetud kujul]

k0Lm k0mB1nAt00R1kA L61ku

Iga fikseeritud substitutsioon g jaotab hulga S tsüklite kui ühisosata alamhulkade summaks (ühendiks), kusjuures liidetavate komplekt on üheselt määratud. Kui veel igas tsüklis elemendid teatud viisil järjestada, siis on substitutsioon täielikult kirjeldatav oma tsüklite kaudu. Esituse ühesuse saavutamiseks lepitakse tavaliselt kokku alustada iga tsükli kirjutamist tema vähima elemendiga (hulgas S määratud "loomuliku" järjestuse mõttes), esitada tsüklid nende pikkuste mittekahanevas järjekorras ning ühepikkused tsüklid näiteks nende esimeste elementide kasvavas järjekorras.

Nagu algebrast teada, saab suvalise substitutsiooni esitada transpositsioonide korrutisena. Niisuguses esituses pole küll üheselt määratud ei tegurid ise ega nende täpne järjekord, kuid üheselt määratuks osutub tegurite arvu paarsus. Paarisarvu transpositsioonide korrutisena avalduvaid substitutsioone nimetatakse paarissubstitutsioonideks, ülejäänuid aga paarituteks. Ilmselt on nii paarissubstitutsioonide korrutis kui ka samuti ühiksubstitutsioon paaris. Seega kõikide paarissubstitutsioonide hulk moodustab sümmeetrilises rühmas alamrühma (mida algebras nimetatakse enamasti märgivahetusrühmaks).
Substitutsioonide liigitamisel on üheks eesmärgiks tavaliselt kas antud tüüpi või siis tüüpide teatud klassi kuuluvate substitutsioonide arvu määramine. Reeglina ei ole sealjuures aga vaatlusel mitte kogu sümmeetriline rühm, vaid ainult selle mingi alamrühm, st. vaadeldakse üksnes selliseid substitutsioone, mis peavad rahuldama veel mingeid lisatingimusi.

Igal kumeral hulktahukal leidub alati kaks tahku, mida piirab ühesugune arv servi. Tõepoolest, olgu hulktahuka tahku piiravate servade maksimaalarvuks n. Lahterdame kõik tahud neid piiravate servade arvu järgi pesadesse märgenditega 3, 4, ..., n. Et tahk, mida piirab n serva, külgneb n erineva tahuga, siis tahkude üldarv pole väiksem kui n+1. Dirichlet' printsiibist tulenevalt peab ühte pesadest 3, 4, ..., n nüüd sattuma vähemalt kaks erinevat tahku, millel seega ongi ühepalju piiravaid servi.
[Ülo Kaasik, Uno Kaljulaid - "Kombinatoorika", Tartu 1993; kõik lõigud muudetud kujul]

k0nt11numhyp0tEEs

1878. aastal püstitas Georg Cantor hüpoteesi, mille kohaselt ei leidu hulka, mille võimsus oleks suurem kui loenduva hulga võimsus ning väiksem kui kontiinumi võimsus (nn. kontiinumhüpotees). 1940. aastal tõestas Kurt Gödel, et kui teatud mittevasturääkivale hulgateooria aksioomide süsteemile lisada valikuaksioom ja kontiinumhüpotees, siis saadakse mittevasturääkiv aksioomide süsteem. 1963. a. näitas Paul Cohen, et samast aksioomide süsteemist saadakse mittevasturääkiv aksioomide süsteem ka siis, kui sellele lisada valikuaksioomi ja kontiinumhüpoteesi eitused. Seega - veidi lihtsustatult öeldes - on mõeldav hulgateooria, mille aksioomide hulgas on kontiinumhüpotees, kui ka hulgateooria, mille aksioomide hulgas on kontiinumhüpoteesi eitus.
[Mati Kilp - "Algebra I", Tartu 1998; muudetud kujul]

vAL1kuAks100m1st

Probleem, kuivõrd on õigustatud valiku aksioomi lülitamine hulgateooria aksiomaatikasse, on erutanud paljusid matemaaikuid. Esimesel pilgul võib näida, et mingit probleemi ei ole. Seisneb ju valikufunktsiooni määramine valiku teostamises iga indeksi i jaoks: igast hulgast A_i tuleb valida mingi element f(i). Kuna A_i on mittetühi, siis iga i korral eraldi muidugi saab sellise valiku teostada. Probleem on aga selles, et kui hulk I on lõpmatu ja meil puudub igasugune informatsioon hulkade A_i kohta, siis ei ole võimalik ühtegi konkreetset valikufunktsiooni konstrueerida lõpliku arvu sammude jooksul. Kui me valiku aksioomi kehtivaks tunnistame, siis osutub võimalikuks selliste objektide olemasolu tõestamine, mida me ei ole suutelised reaalselt konstrueerima. Just see ongi põhjus, miks rida matemaatikuid ei pea valiku aksioomi kasutamist õigustatuks. Meie loeme oma käsitluses valiku aksioomi kehtivaks, asudes sellega ühel positsioonil rõhuva enamiku matemaatikutega. Seda positsiooni võiks kaitsta järgmise mõttega: mõnikord on kasulik teada mõne asja olemasolust vaatamata sellele, et me seda esialgu konstrueerida ei oska.
Lõpetuseks märgime, et matemaatika aluste uurijad on näidanud, et aksiomaatilist hulgateooriat on võimalik arendada nii koos valiku aksioomiga kui ka ilma selleta. Mõlemad variandid annavad sisuka, vastuoludevaba teooria.
[Kalle Kaarli - "Sissejuhatus universaalalgebrasse", Tartu 1989; muudetud kujul]

k0Lm kAtEG00R1L1st v21dEt

Kui kategoorias on olemas igale morfismipaarile vastav konservatiivne ruut ja lõppobjekt, siis on kategooria igal objektipaaril olemas korrutis.

Kui kategooria igal kahel objektil on olemas korrutis ja igal kahel alamobjektil lõige, siis on selles kategoorias olemas iga morfismipaari võrdsustaja.

Kui kategoorias on olemas objektide lõplikud korrutised, igal objektipaaril on olemas võrdsustaja ja igal lõplikul alamobjektide süsteemil on olemas lõige, siis on antud kategoorias olemas kõikvõimalikud lõplikud piirid.
[Mati Kilp - "Kategooriad", Tartu 2000; muudetud kujul]

kAks kAtEG00R1L1st L61ku

See, et funktorid säilitavad isomorfismid, on tõenäoliselt kõige olulisem põhjus, miks funktoreid uurima asuti. On ju kõikides matemaatilistes teooriates üheks oluliseks küsimuseks selle teooria objektide isomorfsuse küsimus. Kui see mingis situatsioonis on keeruline, aga on kirjeldatav kategooriate keeles ning meil on sellest kategooriast olemas funktor mõnda teise kategooriasse, kus objektide isomorfsuse küsimus on lihtsamini käsitletav, siis me oleme ühe kategooria keerulise probleemi taandanud teise kategooria lihtsamale probleemile. Topoloogia, eriti algebralise topoloogia, küsimuste lahendamisel kasutatakse seetõttu väga tihti funktoreid, mis viivad rühmade (sagedasti ka Abeli rühmade) kategooriasse, ning taandatakse sageli keeruliselt käsitletavad homöomorfsuse küsimused rühmade isomorfsuse küsimustele.

Kategooria objektide alamklassi koos kõigi nende objektide vaheliste morfismidega nimetatakse täielikuks alamkategooriaks. Kategooria K täielikku alamkategooriat L, mis iga kategooria K objekti korral sisaldab täpselt ühe temaga isomorfse objekti, nimetatakse kategooria K skeletiks. Kategooriat nimetatakse kõhnaks, kui ta langeb kokku oma skeletiga. On võimalik tõestada, et kaks kategooriat on ekvivalentsed siis ja ainult siis, kui kui nende skeletid on isomorfsed.
[Mati Kilp - "Kategooriad", Tartu 2000; teine lõik (ühe keerulise matemaatilise märgi väljajätmiseks) muudetud kujul]

k0Lm tE0REEt1L1s-mEhAAn1kAL1st L61ku

Arutleme nüüd järgmiselt: kui seose reaktsioonjõud on just niisugune jõud, mis sunnib punkti liikuma nii, nagu seda teeb seos, siis võib alati kujutleda seose hoopis eemaldatuna ning tema mõju punkti liikumisele asendatuna seose reaktsioonjõuga. Me võime kujutleda, et matemaatiline pendel ei liigu ringjoont mööda mitte sellepärast, et ta on kinnitatud niidi otsa, vaid sellepärast, et teda sunnib nii liikuma jõud - niidi tõmme; mitte et laual asetsev keha on tasakaalus sellepärast, et laud ei luba tal oma kaalu mõjul vabalt langeda, vaid sellepärast, et raskusjõuga võrdvastupidine jõud (laua reaktsioon) tasakaalustab viimase jne. Nii võime alati, kui see on vajalik, üle minna mittevabalt masspunktide süsteemilt vabale süsteemile, kui vaid lisame selle süsteemi punktidele mõjuvaile jõududele seoste reaktsioonid. Seda tehes ütleme, et kasutame seostest vabastatavuse printsiipi.

Maa pinnal või selle läheduses liikuv keha kaldub Maa pöörlemise tõttu põhjapoolkeral liikumissuunast paremale, lõunapoolusel aga vasakule. Selle reegli kinnituseks võib tuua mitmeid fakte. Reeglis ennustatud kõrvalekalle ilmneb näiteks mürskude ja kaugrakettide lennu juures. Läbiviidud vaatlused näitavad, et Coriolise inertsjõu tõttu on põhjapoolkeral voolavate jõgede paremad kaldad enam uhutud kui vasemad (Baeri seadus). On täheldatud, et rongide ühesuunalise liikumise puhul kulub põhjapoolkeral parempoolne rööbas kiiremini. Maakera pöörlemise mõjuga on seletatav ka passaattuulte kõrvalekaldumine põhja-lõuna suunast.

Planeet liigub liikuva Päikese suhtes nii, nagu ta liiguks liikumatu Päikese suhtes, kui selle mass oleks suurendatud planeedi massi võrra. Muide, viga, mille teeme Päikest paigalseisvaks lugedes, on väike, sest võrreldes planeediga on Päikese mass väga suur (suurima planeedi Jupiteri mass moodustab kõigest 0,1% Päikese massist). Kuna planeedi ja Päikese kaugused masskeskmest on võrdelised Maa ja Päikese vahelise kaugusega, siis võib järeldada, et ka planeedi ja Päikese trajektoorid masskeskme suhtes on ellipsid. Planeedi trajektooriks on ellips, mis peaaegu ei erine sellest, mille ta kujundaks juhul, kui Päike oleks liikumatu; Päikese poolt kujundatav ellips on planeedi omaga võrreldes väga väike. (Muide, näiteks süsteemi Maa - Päike masskese asetseb Päikese sees, vähem kui 500 km Päikese masskeskmest Maa suunas).
[Ü. Lepik, L. Roots - "Teoreetiline mehaanika", Tallinn, "Valgus", 1971; muudetud kujul]

k0Lm EkstREEmsEt 0BjEkt1

Objekt

,

k0Lm mAtEmAAt1L1sE L00G1kA L61ku

Tuletamine igas formaalses teoorias kujutab endast mängu sümbolitega. Selle mängu reegleid nimetatakse teooria süntaksiks. Peale selle võib teooria valemitele olla omistatud mingisugune sisu, st. võib olla defineeritud, mida iga valem tähendab. Valemite tähendust nimetatakse vastava keele semantikaks. Näiteks, esimest järku keele korral defineerib iga interpretatisoon ühe semantika selle keele valemitele. Semantikat võib defineerida ka mingi interpretatsioonide klassi kaudu, seades igale valemile vastavusse väite, et see valem on tõene kõigis antud klassi kuuluvates interpretatsioonides (näiteks kõigil rühmadel või kõigil lõpmatutel mudelitel). Lausearvutuse valemitele võime seada vastavusse väite, et see valem on samaselt tõene.

Paljudel juhtudel on alguses olemas teooria sisuline pool, st. uuritavad objektid, mille kohta mingi hulk fakte on juba teada. Teooria edasiarendamiseks või korrastamiseks valitakse valemite keel, mis võimaldab tähistada valdkonnas vaadeldavaid põhilisi konstante ja funktsioone ning väljendada teoorias kasutatavaid põhilisi predikaate. Selle keele semantika on juba algusest peale olemas. Aksioomid ja reeglid proovitakse valida nii, et formaalne aksiomaatiline teooria tuleks korrektne ja täielik, st. tuletatavateks valemiteks osutuksid parajasti need valemid, mis on semantikas tõesed. Matemaatilise loogika uurimused on näidanud, et paljudel tähtsatel juhtudel ei ole see võimalik (näiteks naturaalarvude aritmeetika korral). On selge, et mittekorrektne formalisatsioon, kus saaks tõestada ka mõnesid vääri valemeid, ei ole üldse vastuvõetav. Seega jääb üle rahulduda paratamatusega, et mõned tõesed valemid ei ole formaalses teoorias tuletatavad ja püüda jätta mittetuletatavad tõed teooria "ääremaadele".

Lahenduvuse probleem vajab iga esimest järku teooria korral eraldi uurimist. On teada sadu teoreeme konkreetsete esimest järku teooriate lahenduvuse või mittelahenduvuse kohta. Näiteks rühmateooria ei ole lahenduv, aga Abeli rühmade teooria on seda. Võreteooria ja distributiivsete võrede teooria pole lahenduvad, aga Boole'i algebrate teooria on lahenduv jne.
[Tartu Ülikooli matemaatika-informaatikateaduskonnas loetava õppeaine "Matemaatiline loogika ja algoritmiteooria" konspektist.]

1GAs Es1mEst j2Rku tE00R1As 0n 1GA tuLEtAtAv sEkvEnts t6ene 1GAs 1ntERpREtAts100n1s, m1LLEs tE00R1A k61k 0mAAks100m1d 0n t6EsEd

Tõepoolest. Induktsiooni baas peab ilmselt paika: iga aksioom on igas sellises interpretatsioonis tõene. Sammu tõestuse saab predikaatarvutusest samuti üle võtta. Tegelikult näitasime ka seal, et kui reegli ülemine sekvents (ülemised sekventsid) on vaadeldavas interpretatsioonis antud vabade muutujate väärtuste korral tõene (tõesed), siis on seda ka alumine sekvents. Seega tuletuspuud mööda alla liikudes säilib tõesus igas fikseeritud mudelis, järelikult ka kogu meid huvitavas mudelite klassis.
[Tartu Ülikooli matemaatika-informaatikateaduskonnas loetava õppeaine "Matemaatiline loogika ja algoritmiteooria" konspektist.]

k0Lm 0pt1m1sEER1vAt L61ku

Lihtne on veenduda, et kui sadulpunktiga mängu korral üks mängijaist kasutab oma ohutuimat strateegiat, siis teine mängija ei saa oma ohutuimast strateegiast loobumisest kunagi kasu (küll aga võib kahju saada). See tähendab, et mängija võib juba enne mängu algust vastasele teatada oma kavatsuse kasutada ohutuimat strateegiat: seda informatsiooni ei saa vastane enda võidu suurendamiseks kuidagi ära kasutada.
Sadulpunktiga mängu korral võib ohutuimad strateegiaid lugeda o p t i m a a l s e t e k s, sest nad annavad aruka vastasega mängides parima võimaliku tulemuse.

Piiramata horisondi juhule minnakse praktikas üle enamasti siis, kui perioodi pikkus on suhteliselt lühike (näiteks päev), planeerida tuleb aga väga paljude perioodide jaoks (näiteks mitmeks aastaks). Tüüpiliseks piiramata horisondiga praktiliste ülesannete klassiks on näiteks partii suuruse määramine toomises ja üldse paljude hulgitootmisega seotud probleemid.

Seni vaadeldud kahes teenindussüsteemis me eeldasime, et nii tellimuste saabumise kiirus kui ka teenindamise kiirus on konstandid, ei sõltu süsteemi seisundist. Ilmselt moodustab see lihtsa erijuhu üldisemast süsteemist, kus need kiirused osutuvad süsteemi seisundi funktsioonideks.
Vajadus niisugust üldist tüüpi süsteemide vaatlemiseks kerkis kõigepealt bioloogiliste populatsioonide arenemise seaduspärasuste matemaatilisel uurimisel. Kui populatsiooni mudelina kasutada teenindussüsteemi, siis tuleb isendite arvu populatsioonis tõlgendada seisundina, paljunemise käigus tekkivaid uusi isendeid süsteemi sisenevate tellimustena ja isendite hukkumist kui nende lahkumist süsteemist teenindatult. Niisugust interpretatsiooni arvestades nimetataksegi seisundist sõltuvate kiirustega teenindussüsteemide abil kirjeldatavaid protsesse üldiselt p a l j u n e m i s e   j a   h u k k u m i s e   p r o t s e s s i d e k s.
[Ülo Kaasik, Lembit Kivistik - "Operatsioonianalüüs", Tallinn "Valgus", 1982.]

nEL1 n21dEt kAAsfunkt0R1tEst

Funktor F seab rühmale vastavusse tema faktorrühma kommutandi järgi (see on Abeli rühm), funktor G "unustab" ära, et rühm on just Abeli rühm.

Funktor F seab kommutatiivsele nulliteguriteta ringile vastavusse tema jagatiste korpuse, funktor G "unustab" ära, et korpuse nullist erinevatel elementidel peab olemas olema pöördelement.

Funktor F seab moodulile üle kommutatiivse ringi vastavusse tema tensorkorrutise mingi fikseeritud mooduliga üle selle ringi, funktor G seab moodulile vastavusse mooduli, mis koosneb kõigist homomorfismidest sellest fikseeritud moodulist vaadeldavasse moodulisse.

Funktor F seab täielikult regulaarsele Hausdorffi ruumile vastavusse tema Stone-Cechi kompaktse laiendi, funktor G "unustab" ära kompaktsuse.
[Mati Kilp - "Kategooriad", Tartu 2000]

P01ncARE k0GEmus

Neliteist päeva olin maadelnud tõestusega, et ei leidu analoogseid funktsioone minu poolt Fuchsi funktsioonideks nimetatutega; tammusin täielikus pimeduses. Iga päev asusin oma töölaua taha ja katsetasin üks või kaks tundi edutult suurt hulka kombinatsioone. Ühel õhtul jõin vastupidi oma harjumustele tassi musta kohvi; ma ei saanud magama minna; ideed hõljusid mu ümber pilvedena; tundsin nende kuhjumist, kuni lõpuks üks paar ühines nii-öelda kindlaks blokiks. Koidikuks olin leidnud ühe klassi Fuchsi funktsioone, mis on tuletatud hüpergeomeetrilistest ridadest. Mul tarvitses tulemus kirja panna, milleks kulutasin mitu tundi.

Seepeale tahtsin kujutada neid funktsioone kahe rea kordajatena; see eesmärk oli mulle hästi teada ja selge, kusjuures ajendiks oli analoogia elliptiliste funktsioonidega. Küsisin eneselt, millised omadused peaksid neil ridadel olema, kui sellised olemas on; moodustasin need raskusteta ja nimetasin nad teetafuchsilikeks.

Seejärel lahkusin Caenist, kus ma tollal elasin, et võtta osa Mäeakadeemia poolt korraldatavast geoloogilisest ekskursioonist. Rännates olin sunnitud oma matemaatilised tööd unustama. Coutances'i saabunud, asusime ümber bussi. Sel silmapilgul, kui asetasin jala astmelauale, tuli mulle, nähtavasti ilma eelneva järelemõtlemiseta, idee, et teisendused, mida olin kasutanud Fuchsi funktsioonide defineerimisel, olid identsed mitteeukleidilise geomeetria omadega. Ma ei kontrollinud seda; mul poleks selleks aegagi olnud, sest bussis jätkasin katkenud vestlust, ometi tundsin vahetut ja täielikku kindlust. Naasnud Caeni, veendusin täielikus segamatuses oma idee õigsuses, et rahustada oma südametunnistust.

Seejärel asusin suurema eduta uurima teatud aritmeetikaküsimusi, teadvustamata endale, et sel asjal oleks vähematki seost minu varasemate probleemidega. Siis sõitsin mõneks päevaks mere äärde ja mul olid teised asjad peas. Ühel päeval, kui läksin karidele jalutama, tuli mulle sama iseloomuliku ootamatuse ja vahetu kindlusega mõte, et kolmendruutvõrrandite teisendused on identsed mitteeukleidilise geomeetria omadega.

Jõudnud tagasi Caeni, mõtlesin asja üle järele ja tegin vastavad järeldused; ruutvõrrandi näitest selgus mulle, et on olemas ka teisi Fuchsi rühmi, ja ma nägin, et saan neile rakendada teetafuchsilike funktsioonide teooriat. Selle kohaselt oli hüpergeomeetrilistest ridadest tuletatud funktsioonide kõrval veel teisi, mida ma varem ei tundnud. Loomulikult võtsin eesmärgiks leida kõik seda laadi funktsioonid. Alustasin kindluse süstemaatilist vallutamist ja allutasin ühe kantsi teise järel, otsustav kants osutas aga ikka veel vastupanu. Kõik minu ponnistused läksid tühja. See oli puhtteadlik töö.

Asjaolude selles staadiumis sõitsin Mont-Valerien'i, kus pidin täitma oma sõjaväekohustust. Olin seetõttu haaratud hoopis teistest probleemidest. Ühel päeval üle puiestee minnes koitis mulle äkki, kuidas tekkinud raskusi ületada. Ma ei püüdnudki sel silmapilgul oma mõtet arendada, vaid võtsin probleemi käsile alles pärast teenistusaja lõppu. Mul olid olemas kõik elemendid. Nad tuli ainult ühendada ja korraldada. Nii panin töö kirja lõplikul kujul ja raskusteta.
[Peeter Müürsepp - "Kuulsaid 19.-20. sajandi matemaatikuid", Tallinn "Valgus" 1985]

kyBERnEEt1kA ALGus

Samal ajal aga oli ilmne, et arvutite ehitamisel on sõjaks ettevalmistumise mõttes palju suurem tähtsus kui doktor Bushi esialgse arvamuse järgi oleks võinud näida, ja see töö edenes eri keskustes sellises suunas, mis kuigi palju ei erinenud tollest, mille oli kätte näidanud minu varasem ettekanne. Harvard, Aberdeeni Katsepolügon ja Pennsylvania Ülikool juba ehitasid arvuteid ning peagi olid sellel alal tööle asumas ka Princetoni Kõrgemate Õpingute Instituut ja Massachusettsi Tehnoloogia Instituut. Selle töö käigus esines järkjärguline üleminek mehaaniliselt koostiselt elektrilisele koostisele, kümnendsüsteemilt kahendsüsteemile, mehaanilistelt releedelt elektrilistele releedele, inimese poolt suunatavalt tegutsemiselt automaatselt suunatavale tegutsemisele ja, lühidalt öeldes, vastas iga uus arvuti rohkem kui eelmine neile märkustele, mis ma doktor Bushile olin saatnud. Pidevalt lahkus ja saabus neid, kes nende alade vastu huvi tundsid. Meil oli soodne võimalus teha endi mõtted teatavaks oma ametivendadele, eriti doktor Aikenile Harvardist, doktor von Neumannile Kõrgemate Õpingute Instituudist ja doktor Goldstine'ile masinate ENIAC ja EDVAC juurest Pennsylvania Ülikoolis. Kõikjal sattusime me kuulajatele, kes elasid meile kaasa, ja inseneride sõnastikku hakkas peagi segunema neurofüsioloogide ning psühholoogide oskussõnu.

Asjaolude sellist arengut arvestades pidasime doktor von Neumann ja mina soovitavaks korraldada ühine nõupidamine kõigi nendega, kes tundsid huvi selle vastu, mida me nüüd nimetame küberneetikaks, ja see nõupidamine leidis aset Princetonis 1943.-1944. aasta talve lõpupoole. Insenerid, füsioloogid ja matemaatikud, kõik olid esindatud. Doktor Rosenbluethi viibimine meie hulgas osutus võimatuks, sest ta oli äsja võtnud vastu kutse tegutseda füsioloogialaboratooriumide juhatajana Rahvuslikus Kardioloogia Instituudis Mehhikos, kuid füsiolooge esindasid doktor McCulloch ja doktor Lorente de Nó Rockefelleri Instituudist. Doktor Aikenil polnud võimalik kohal viibida; ent doktor Goldstine oli üheks mitmete arvutite loojate rühmast, kes nõupidamisest osa võttis, doktor von Neumann, härra Pitts ja mina ise aga olime matemaatikuteks. Füsioloogid andsid küberneetika küsimustele ühise tõlgenduse oma vaatekohalt, samuti nagu arvutite loojad esitasid omad meetodid ja eesmärgid. Nõupidamise lõppedes oli saanud kõigile selgeks, et erisugustel aladel töötajate vahel esineb põhimõtetes tugev üksmeel, et igasse rühma kuuluvad inimesed võivad juba kasutada mõisteid, mida teised on paremini arendanud, ja et tuleks teha teatavaid katseid ühise sõnavara loomiseks.
[Norbert Wiener - "Küberneetika", lk. 28-29, Tallinn 1961; originaalraamat on aastast 1948.]

vEEL k0Lm ALGEBRAL1st L61ku

Veel ühe üldiselt mitteassotsiatiivsete, kuid assotsiatiivsetele ringidele küllalt lähedaste ringide klassi moodustavad nn. alternatiivsed ringid, mille iga kahe elemendi a ja b korral (aa)b=a(ab) ja (ba)a=b(aa), s. t. assotsieeruvad selliste elementide järjestatud kolmikud, milles on kaks kõrvuti seisvat võrdset elementi. Kui sümboliga [abc] tähistada elementide a,b ja c nn. assotsiaatorit (ab)c-a(bc), siis võib alternatiivsuse tingimuse esitada kujul [aab]=[baa]=0, samal ajal kui tavaline assotsiatiivsus on esitatav kujul [abc]=0.
Huvitav on märkida, et alternatiivseks osutuvad need ja ainult need ringid, milles iga kahe elemendi korral neid elemente sisaldav vähim alamring on assotsiatiivne. Võrdluseks märgime, et assotsiatiivsetes ringides on iga alamring assotsiatiivne. Peale selle vaadeldakse veel nn. assotsiatiivsete astmetega ringe, s. o. selliseid ringe, mis ei tarvitse olla alternatiivsed, kuid milles iga elemendi korral vähim seda elementi sisaldav alamring on assotsiatiivne.

Antud hulga kõik alamhulgad ei moodusta ringi ühendi ja ühisosa võtmise operatsiooni suhtes, sest kuigi need operatsioonid on omavahel seotud distributiivsuse seadusega (isegi kahe distributiivsuse seadusega: (A B) C = (A C) (B C) ja (A B) C = (A C) (B C)) ning kuigi kõik alamhulgad moodustavad mõlema operaatori suhtes ühikuga kommutatiivse poolrühma, ei osutu kumbki neist poolrühmadest rühmaks.

Struktuuride korral on liitmine ja korrutamine n.-ö. võrdõiguslikud, mis väljendub neid siduvate tingimuste sümmeetrias: siin on mitte ainult liitmine, vaid ka korrutamine kommutatiivne ja assotsiatiivne ning kehtib samuti liitmise distributiivsus korrutamise suhtes. Peale selle kehtivad struktuurides ka mõlemad neelamisseadused.
[Jevgeni Gabovitsh - "Algebra põhimõisted IV", ajakirjast "Matemaatika ja kaasaeg IX", Tartu, 1965.]

topoLooGiLinE sEGAdus

(Veidi lihtsustatud tõlge eesti keelde. Lause 6.4.6.)

Kui võrgu iga alamvõrk omab (alam-)alamvõrku, mis koondub elemendiks y, siis ka see võrk ise koondub elemendiks y. Teisisõnu, kui võrk ei koondu elemendiks y, siis leidub selle võrgu alamvõrk, mille ükski alamvõrk ei koondu elemendiks y.
[Michael C. Gemignani - "Elementary Topology. Second Edition", Dover Publications, Inc., New York 1990.]